等了159年，Atiyah今天宣布他證實(shí)了黎曼猜想

每一種證明思路都將進(jìn)一步推進(jìn)這一理論的發(fā)展，以及對其他學(xué)科的滲透。

剛剛，在德國召開(kāi)的海德堡獲獎?wù)哒搲葜v上，菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士在45分鐘中的演講中，用40分鐘介紹了黎曼猜想，僅用五分鐘，憑借1張ppt，從量子力學(xué)中的概念出發(fā)，給出了他對159年里懸而未決的黎曼猜想的證明。

對此，眾說(shuō)紛紜，數學(xué)界也尚未有進(jìn)一步的評論給出。

通過(guò)量子力學(xué)證明，159年未解之謎得“解”

邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah，1929.4.22-）， 主要研究領(lǐng)域為幾何，被譽(yù)為當代最偉大的數學(xué)家之一。于1966年榮獲菲爾茲獎，在2004年與辛格共同獲得阿貝爾獎。

圖 |邁克爾·阿蒂亞

不久之前，他提前公布了此次演講的摘要，稱(chēng)：“黎曼猜想是1859年提出的著(zhù)名問(wèn)題，至今懸而未決。我會(huì )基于馮·諾依曼（1936）、希策布魯克（1954）和狄拉克（1928）的相關(guān)工作，給出一個(gè)使用全新方法的簡(jiǎn)潔證明。”話(huà)語(yǔ)一出，在數學(xué)界里引起了巨大的轟動(dòng)。

今天上午，據稱(chēng)是他的證明論文預印版被流出，短短五頁(yè)紙的長(cháng)度與黎曼實(shí)現了隔空的遙相呼應，時(shí)隔159年，時(shí)代不同，但不變的是依然簡(jiǎn)潔。

論文摘要中寫(xiě)道，他希望理解量子力學(xué)中的無(wú)量綱常數——精細結構常數，并將此過(guò)程中發(fā)展出來(lái)的數學(xué)方法用于理解黎曼猜想。

圖 | TODD函數

在演講中，他拋出了自己定義的Todd函數，通過(guò)常數結構的解析，并利用反證法給出了證明思路，值得贊嘆的是，盡管演講時(shí)間只有四十五分鐘，他也沒(méi)有忘記向給過(guò)自己?jiǎn)l(fā)的數學(xué)家們和物理學(xué)家們致敬。

同時(shí)，他也表示：“此次只是給出了思路，未來(lái)也還有很多事需要我們去做。”

黎曼猜想的起源

黎曼猜想的證明如此重要，不是因為它是數學(xué)史上僅有的價(jià)值“100萬(wàn)美元”獎金的幾個(gè)難題之一，而是它的成果已經(jīng)滲入幾何、代數、空間物理等眾多基礎科學(xué)研究中，從而足以撼動(dòng)密碼體系、信號分析等諸多工程的基礎。

圖 | 波恩哈德·黎曼

但在1859年當選柏林科學(xué)院院士時(shí)，黎曼似乎對自己會(huì )帶來(lái)的驚人貢獻毫不自知。作為對這一崇高榮譽(yù)的回報，他提交了一篇《論小于給定數值的素數個(gè)數》的小論文，在這篇論文中，黎曼用一個(gè)簡(jiǎn)短函數描述了一個(gè)數學(xué)家長(cháng)期感興趣的話(huà)題——素數的分布問(wèn)題。而這一論文就是黎曼猜想的發(fā)源地。

整篇論文只有八頁(yè)長(cháng)，可想而知，黎曼的文字描述和證明過(guò)程十分簡(jiǎn)潔精煉。要命的是，論文中多處出現的“證明從略”，即黎曼認為顯而易見(jiàn)的推理過(guò)程，有些花費了后世數學(xué)家們幾十年的努力才得以補全，而有些直到今天仍是空白。

但這并不能說(shuō)明黎曼不嚴謹，畢竟事隔三百多年才被證明出來(lái)的費馬大定理，其提出者費馬也沒(méi)有意識到他給數學(xué)界留下了個(gè)多么大的難題。在發(fā)現費馬大定理時(shí)，人們發(fā)現在公式的旁邊，他只留下了一句話(huà)：因為邊上沒(méi)有空白，所以證明就不寫(xiě)了。

事實(shí)證明，數學(xué)家們也確實(shí)喜歡開(kāi)這樣的“玩笑”，可查閱的資料表明，黎曼就更偏愛(ài)將自己的重大思考和疑問(wèn)寫(xiě)在給父親的信中。

黎曼猜想是什么？

正如黎曼猜想起源的論文名一般，其重大意義就是利用了復分析解讀了素數分布定律。而被采用的這道大家早已熟知的函數公式，在黎曼的“點(diǎn)化”下，就像一道智慧之光，打通了數論和解析幾何在復分析領(lǐng)域的通道。自此，該函數公式就被正式定義為“黎曼zeta函數”。

圖 | 黎曼zeta函數

對于zeta函數，黎曼給出了這樣的猜想：

如果

且s不是實(shí)數，那么一定存在某個(gè)實(shí)數y，使得

黎曼認為，這些零點(diǎn)有一定的排列規律，除了分布在橫軸上的零點(diǎn)（如4，2，-2，-4，等，被稱(chēng)為“平凡零點(diǎn)”），所有的非平凡零點(diǎn)都集中在實(shí)部為1/2的直線(xiàn)上，無(wú)一例外。

基于已有的數論研究，在調整各種各樣的s值時(shí)，我們會(huì )發(fā)現，ζ(s)里面合數項部分很容易就被質(zhì)數項部分“吸收”了（任意合數可以分解為質(zhì)數之和），而質(zhì)數和質(zhì)數的冪項則很難被消掉，往往會(huì )殘留下來(lái)。

而對于某些s，ζ(s)居然等于0，也就意味著(zhù)質(zhì)數都消解光了。這就說(shuō)明質(zhì)數里面必然存在某種針對這個(gè)s的結構，而這就是一直被數學(xué)家們猜測探討的質(zhì)數分布規律。

不難意識到，黎曼給出這里的s值實(shí)部為1/2的結果，即分布在一條直線(xiàn)上，這幾乎等同于告訴大家，質(zhì)數隨機分布在直線(xiàn)1/2上。

黎曼猜想被證明的重大意義

如大家所知，隨機分布因無(wú)規律可循，所以也是最為安全。因此，現階段的密碼學(xué)系統，包括新興的區塊鏈底層架構，都是基于質(zhì)數分布的隨機性來(lái)構建和設計的，以確保一定的安全性。

除了對數論有著(zhù)非常大的影響，物理、機械、信號等與頻率（復分析）有著(zhù)密切聯(lián)系的應用領(lǐng)域，都將會(huì )或多或少的受到這一證明過(guò)程的影響和啟發(fā)。

某種程度上，黎曼做的事情就是給后輩們指引一條極具意義的方向，而每一種證明思路都將進(jìn)一步推進(jìn)這一理論的發(fā)展，以及對其他學(xué)科的滲透。

附上網(wǎng)絡(luò )流出的 Atiyah論文圖，僅供參考：

最后，記得關(guān)注微信公眾號：鎂客網(wǎng)（im2maker），更多干貨在等你！